​小学奥数18道难题（从一道小学奥数题的解析）

小学奥数18道难题（从一道小学奥数题的解析）

经典奥数试题选讲（二）：拆分长乘式和思维联想

本期，我们来看这道经典的奥数题目：

我还是一个小学生的时候，这样的题目给我留下了巨大的心理阴影，经常是枯坐半日，毫无头绪。尤其是当年的教学资源远不如现在这样完备，有时候想翻到最后看看解答过程，结果只看到一个略字。

当然，这样的题目，对没有接触过的学生来说，直接上手做一般是不行，需要其他题目作合理的铺垫。

所以，我们先来看一道铺垫的题目。（为了让低年级的小孩也能看懂，这类题目也往往写成下面这样的形式）

这道题目，我们还是做不来。

那么，我们会做的有什么？我们有没有做过类似的题目？#联想做过的有相同未知量的题目

我们会比较两个数的大小，也会比较一些运算式的大小，像20×20和19×21，我们可以不计算结果直接比较。只是这样的算式，限于较短的计算，而不像题目中那么长。

那么，能不能把很长的算式转化成较短的算式呢？

有一个方法比较容易想到，我们可以把这两个乘式等分成若干个小的式子，然后比较每个小式子的大小，再由小式子的大小判断总的乘式的大小。

我们把题目中乘数的个数做因数分解：296=37×8；185=37×5

所以，第一个乘式可以拆成37个相同的小式子，每个小式子都是2的8次方；第二个乘式也可以拆分成37个，每个都是3的5次方。

2的8次方等于256，3的5次方等于243，前者要大。所以，前一个乘式中的每一个小式子都大于后者，那么它们的乘积也大于后者。这叫做单调性，也叫做你大爷还是你大爷。

由此，我们可以找到解这类题目的一种方法：即，先找到乘数个数的最大公约数，然后把乘式等分成若干段，段数等于最大公约数，比较单段的大小就可以推出总的乘式的大小。

我们试试用这个方法，来解第一道题目：

234=29×2×3

100=5×5×2×2

两数的最大公约数是2， 即使我们把这两个式子分解成相等的两段，剩下的各段还是大到无法计算。

题目解到这里，算是卡壳了。

现在我们知道，第一题和第二题，并不是完全一样的题目。但这两个问题有相当多类似的地方，既然我们不能直接套用解法来解题，就得考虑做些变通，把一个不会的问题转化成一个会的问题。#再次联想做过的有相同未知量的题目

第二题的解法，是把一个长的乘式拆分为许多足够小的乘式，而第一题的算式，我们既不能拆分到足够多，也不足够小。

那么，能不能把拆分的方法稍加变通呢？如果我们不能分解5的100次方，那能不能分拆5的99次、101、102次方呢？

让我们依次来试，101是个质数，不能拆分，而99可以拆分成33×3，这样的话，5的100次方可以拆成33个5的3次方，再乘以一个5，足够多也足够小。（当然，你可以选择先拆2的234次方。优先拆5的100次方的原因是，我们更加熟悉100附近的数怎样因数分解）

再来看2的234次方，在234周围，有没有33的倍数呢？恰好，33的7倍等于231，那么2的234次方就可以拆成33个2的7次方，再乘以2的3次方。

2的7次方等于256，5的3次方等于255，前者大于后者，所以33个乘式中前者都大于后者。再看余下的的部分，2的3次方大于5，前者也大于后者。

综上，2的234次方大于5的100次方，你二大爷还是你二大爷。

我们经常建议三年级以上的学生，适当的做一些奥数题，那是因为，小学课本上的数学内容太简单了，如果孩子总是呆在舒适的安全区里，那么他们根本得不到应有的锻炼。但同时我们也建议，在学习奥数的过程中，要注意适当的难度（进阶式的）和教授方法（启发式和探索式的）。正如你在这道题里可以看到的，学会计算长乘式本身毫无意义，学会从一个已知的问题突破到未知问题，才真正重要。

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