归纳总结｜行程问题之相向而行

“相遇问题”离不开三个关键的因素：路程、时间、速度，对应有三个公式：路程=时间x速度，时间=路程÷速度，速度=路程÷时间。在此基础上，虽然题目存在很多变形，但百变不离其中，时刻熟记这三个公式，见招拆招，同时在纸上画好相遇的图形，并标注路程、速度或者时间等已知条件，就能顺利完成题目的解答。

这里的“相遇”是指相向而行，即两人从两地面对面相向前进，于路程当中的某一点相遇。问答方面有要求计算行驶的时间，两人行进的速度，两地的距离等。下面我通过举例对“相遇问题”做出解说。

例题1

甲、乙两人分别从A、B两地出发，相向而行，甲每小时走6千米，乙每小时走4千米，5小时后甲、乙两人相遇。途中，甲休息了1小时，乙并未休息，请问A、B两地相距多少千米？相遇时，距离A地有多少千米？

解答：这是一道已知两人行走速度以及时间，来求两地距离的题目。题目里，已知甲每小时走6千米，乙每小时走4千米，则甲、乙两人每小时一共走了（6+4）=10千米。

虽然两人分别行走的时间是5小时，但是由于甲中途休息了1小时，则实际上，甲行走了4小时，乙行走了5小时。因此，甲一共走了6x4=24千米，乙一共走了4x5=20千米。两人一共走的总路程是24+20=44千米，且相遇时，距离A地的距离是24千米。

对例题1做一些修改，甲、乙的行走速度保持不变，但在相遇时给出一个相对距离的已知条件，具体题目如下：

例题2

甲、乙两人从A、B两地相向而行，甲每小时走6千米，乙每小时走4千米，两人在距离中点10千米的地方相遇，请问A、B两地的距离是多少千米？

解答：题目里给出了甲、乙两人的行走速度，但并未给出他们行走的时间，因此，我们先要计算他们从出发到相遇的时间。根据已知条件，两人相遇时距离中点10千米，也就是说，甲比一半路程多走了10千米，乙比一半路程少走了10千米，即甲比乙一共多行走10x2=20千米。

甲的速度是6千米/小时，乙的速度是4千米/小时，则甲比乙每小时多走6-4=2千米。把这两个信息结合起来，就可以计算出甲、乙两人从出发到相遇一共行走的时间为20÷2=10小时，那么A、B两地的距离，也就是他们一共行走的路程是：（6+4）x 10=100千米。

当题目中的已知条件不包括两人行走的速度以及行走的时间，要求计算的却是两地的距离，那么题目的难度将再一次被提升，具体题目如下：

例题3

甲、乙两人同时从A、B两地相向而行，第一次相遇时，距离A地有20千米，之后甲、乙两人继续前进，各自到达终点后马上折返，在距离B地15千米的地方再次相遇，请问，A、B两地的距离是多少千米？

解答：在纸上画出相遇图，第一次相遇时，甲、乙两人走完了一个全程，在一个全程的时间里，甲走了20千米。之后甲、乙继续前进，到终点后立即折返，第二次相遇时，两人一共走完了三个全程，其中，甲一共走了一个全程加15千米，乙一共走了两个全程减15千米。由于甲在一个全程的时间里走了20千米，那么甲在三个全程的时间里，一共走了20x3=60千米，所以A、B两地距离为：60-15=45千米。

上面三道例题是需要计算两地的距离，接下来，我再举例说明已知速度跟路程来计算时间的情况。

例题4

A、B两地相距66千米，甲、乙两人分别从两地出发相向而行，甲每小时走6千米，乙每小时走4千米，乙在途中休息了一个小时，之后继续前进，与甲在某一点相遇，请问，两人从出发到相遇经过了多少时间？

解答：乙在途中休息了一个小时，相当于甲提前出发了一个小时，一个小时里甲走了6千米。剔除6千米后，剩余的60千米路程是甲跟乙在相同时间内一起走完的。甲、乙两人每小时一起能走6+4=10千米，因此60千米一共需要的时间是60÷10=6小时。算上乙休息的一个小时，两人从出发到相遇一共经过了6+1=7小时。

在甲、乙两人相向行走的过程中，添加一只小动物一起前进，虽然题目对小动物走过的总路程进行提问，但是要明确一点，小动物行走的总时间跟甲、乙两人从出发到相遇的时间是一致的，因此，回过头来需要求解的还是时间。具体题目如下：

例题5

甲、乙两人从距离40千米的A、B两地相向而行，甲每小时走6千米，乙每小时走4千米，甲还带了一只小狗一起出发，小狗的速度是每小时10千米，小狗遇到乙后，立即回头往甲跑去，遇到甲后再回头往乙跑，直到两人相遇，求小狗一共跑了多少米？

解答：题目中，小狗跑的时间跟甲、乙两人行走的时间是一样的，且甲、乙两人一共走了40÷（6+4）=4小时，因此，小狗一共跑了10x4=40千米。

最后，我举例说明已知路程和时间来计算两人速度的情况。

例题6

A、B两地相距50千米，甲、乙两人分别从两地骑车相向而行，如果甲先出发2小时，那么两人在之后的2小时后相遇，如果乙先行驶10千米，那么之后两人也在2小时后相遇，请问，两人的速度分别是多少？

解答：乙先行走10千米，然后甲、乙两人再一起相向而行2小时，并相遇，那么两人2小时时间里一共行驶了50-10=40千米，两人速度和为40÷2=20千米/小时。如果甲先出发2小时，那么两人再共同行驶2小时后也会相遇，因此，甲一开始单独骑行2小时一共前进了50-20x2=10千米，则甲的速度为10÷2=5千米/小时，乙的速度为20-5=15千米/小时。

“相遇问题”还存在很多千奇百怪的变形，重要的是了解这类题目的本质，掌握解题的技巧，熟记路程、时间、速度之间的关系，不管题目怎么变，最终还是要回到这三个重要因素上。

【头脑风暴】

1、A、B两地相距180公里，甲、乙两人分别从两地骑车相向而行，甲骑的比乙快，乙先从B地出发3小时后，甲才从A地出发相向而行，两人在5个小时后相遇，已知甲骑车速度每小时比乙快10千米，请问，甲、乙两人的速度各是多少？

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