​协方差计算公式推导(协方差公式汇总)

协方差计算公式推导(协方差公式汇总)

概论：

一维随机变量期望与方差

二维随机变量期望与方差

协方差

1.一维随机变量期望与方差：

公式：

离散型：

E（X）=∑i=1->nXiPi

Y=g（x）

E（Y）=∑i=1->ng（x）Pi

连续型：

E（X）=∫-∞->+∞xf（x）dx

Y=g（x）

E（Y）=∫-∞->+∞g（x）f（x）dx

方差：D（x）=E（x²）-E²（x）

标准差：根号下的方差

常用分布的数学期望和方差：

0~1分布 期望p 方差p（1-p）

二项分布B（n，p） 期望np，方差np（1-p）

泊松分布π（λ） 期望λ 方差λ

几何分布 期望1/p ,方差（1-p）/p²

正态分布 期望μ，方差σ²

均匀分布，期望a+b/2,方差（b-a）²/12

指数分布E（λ）期望1/λ,方差1/λ²

卡方分布，x²（n） 期望n 方差2n

期望E（x）的性质：

E（c）=c

E（ax+c）=aE（x）+c

E（x+-Y）=E（X）+-E（Y）

X和 Y相互独立：

E（XY）=E（X）E（Y）

方差D（X）的性质：

D（c）=0

D（aX+b）=a²D（x）

D（X+-Y）=D（X）+D（Y）+-2Cov（X，Y）

X和Y相互独立：

D（X+-Y）=D（X）+D（Y）

2.二维随机变量的期望与方差：

3.协方差：Cov（X，Y）：

D（X+-Y）=D（X）+D（Y）+-2Cov（X，Y）

协方差：

Cov（X，Y）=E（XY）-E（X）E（Y）

相关系数：

ρxY=Cov（X，Y）/X的标准差*Y的标准差

ρxY=0为X与Y不相关

记住：独立一定不相关 ，不相关不一定独立。

协方差的性质：

Cov（X，Y）=Cov（Y，X）

Cov（X，C）=0

CoV（X，X）=D（X）

Cov（ax+b，Y）=aCov（X，Y）